デイヴィッド・ロバートソン、ネーメ・ヤルヴィ、ユーリ・テミルカーノフ、トーマス・ダウスゴー、トゥガン・ソヒエフ、ラファエル・パヤーレら世界屈指の指揮者たちと共演。ロンドン交響楽団、クリーヴランド管弦楽団、ワルシャワ・フィルハーモニー管弦楽団、BBCスコティッシュ交響楽団、ボルティモア交響楽団、ニュー・ワールド交響楽団などからソリストとして招かれている。
ワレリー・ゲルギエフと定期的にタッグを組み、彼の指揮のもと、バービカン・センター（共演：ロンドン交響楽団）、サンクトペテルブルクの白夜の星音楽祭、ザルツブルク音楽祭、パリのシャンゼリゼ劇場、ロッテルダム・フィルハーモニー=ゲルギエフ音楽祭で演奏。ロッテルダム・フィルのアーティスト・イン・レジデンスも任された。
各地で引く手あまたであり、アムステルダムのコンセルトヘボウ、ロンドンのウィグモア・ホール、ウィーン・コンツェルトハウス、エルプフィルハーモニー・ハンブルク、ミュンヘンのヘルクレスザール、ベルリン・コンツェルトハウス、チェコのルドルフィヌム内ドヴォルザーク・ホールなど、数々の名高いコンサート・ホールの舞台に立っている。
2019／2020年シーズンの活動のハイライトとしては、カーネギーホールでの公演のほか、ライプツィヒ・ゲヴァントハウス管弦楽団、バンベルク交響楽団、フランス放送フィルハーモニー管弦楽団、マーラー・チェンバー・オーケストラ、マリインスキー劇場管弦楽団、トロント交響楽団、ヴェルビエ祝祭管弦楽団との共演が挙げられる。またコンツェルトハウス・ドルトムントのキュレーティング・アーティストとしても活動した。
ドイツ・グラモフォンと専属録音契約を結んでおり、最新盤『ラフマニノフ：ピアノ作品集』は、「BBCミュージック・マガジンの今月の推薦盤に選出されるなど、世界中で注目を集めた。プロコフィエフの作品をババヤンがみずから2台ピアノのために編曲し、マルタ・アルゲリッチとともに録音したアルバム『プロコフィエフ・フォー・トゥー』は、“待望のCD”（『ドゥヴォワール』紙）と歓迎された。
アルメニア出身。ゲオルギー・サラジェフのもとで学んだのち、モスクワ音楽院でミハイル・プレトニョフ、ヴェラ・ゴルノスタエヴァ、レフ・ナウモフに師事。クリーヴランド国際ピアノコンクール、浜松国際ピアノコンクールなどで第1位に輝いた。