3歳よりヴァイオリンを恵藤久美子に学ぶ。5歳でニューヨークに転居し、7歳でジュリアード音楽院プレカレッジに入学、田中直子に師事。11歳の時、名教授ザハール・ブロンに招かれリューベックに留学。20歳よりフライブルク音楽院でライナー・クスマウルに師事、グスタフ・シェック賞を受賞し修士課程を修了した。
これまで、ロリン・マゼール、小澤征爾、マリス・ヤンソンス、チョン・ミョンフン、パーヴォ・ヤルヴィなどの著名指揮者のもと、国内外のオーケストラと共演を重ねるほか、室内楽にも意欲的に取り組み、マルタ・アルゲリッチ、ギドン・クレーメル、ユーリ・バシュメット、ミッシャ・マイスキー、エマニュエル・パユ、ポール・メイエなどの著名ソリストと共演。使用楽器は、株式会社飛鳥（志村晶代表取締役）から貸与された1744年製デル・ジェス「ド・ベリオ」。
2007年からは、自身が音楽監督となり兵庫県赤穂市・姫路市を舞台に室内楽の国際音楽祭「ル・ポン（Le Pont）」を開始。フランス語で「架け橋」の意を持つ名前を冠する本音楽祭は、「音楽を架け橋に、人と人のきずなを大切にし、平和で幸せな世界を創りたい」という樫本の願いを受けて開催され、彼の声がけで世界一流の音楽家が毎秋参加し話題を呼んでいる。
2010年、日本人として史上2人目のベルリン・フィルハーモニー管弦楽団第1コンサートマスターに正式就任。オーケストラの顔として活動しているほか、本拠地ベルリンでの定期演奏会やヨーロッパ、アジア・ツアーでの演奏会などでソリストとしても共演している。
主なCDに、2014年にワーナー・クラシックスから世界リリースもされた、コンスタンチン・リフシッツとの『ベートーヴェン：ヴァイオリン・ソナタ全集』など。
1995年アリオン音楽賞、1997年出光音楽賞、モービル音楽賞、1998年新日鉄音楽賞フレッシュアーチスト賞、平成9年度芸術選奨文部大臣新人賞、2011年兵庫県文化賞、チェンジメーカー2011クリエーター部門、2017年姫路市芸術文化大賞、ドイツに於いてはシュタインゲンベルガー賞、ダヴィドフ賞を受賞。2019年12月より、HiFiオーディオ製品ブランド「VELVET SOUND」（旭化成エレクトロニクス）公式アンバサダー。
TBS「情熱大陸」、NHK「プロフェッショナル～仕事の流儀」など、多くのメディアに取り上げられ、クラシック音楽の最高峰で活躍するヴァイオリニストとして常に注目を浴びている。